nabion’s diary

ビジネスと技術やってたらロボティクスにいきついた人のブログ

線形な系と系の時間発展

制御工学自分用ノート

系の状態を $x$ 、出力を $y$ 、入力を $u$ とする。

$x, y, u$ はスカラーでもいいし、ベクトルに取ることもできる。

系に適当な線形化をして、以下の方程式で時間発展を追うことができるする。

$\dot{x} = A x + B u$

$y = C x$

$A,B,C,D$ はそれぞれ適当な次元の行列。

このような系を制御する。

つまり、任意の時間に任意の状態に到達するような $u$ を与えることができるだろうか？

状態フィードバックコントローラ

$u(t) = Kx(t)$ と取ります。

$K$ を状態フィードバックゲインという。

このとき、時間発展の方程式は

$\dot{x}=(A+BK)x$

となる。

ここで簡単のため、目標の状態は $x=0$ とする。

もし $x=x_f \neq 0$ が目標の場合、 $\xi = x-x_f$ を状態に取り直しておつりの項をどうにかすることを考えよう。

$(A+BK)x=(A+BK)(x-x_f+x_f)=(A+BK)\xi+(A+BK) x_f)$

物理ではおなじみの行列の指数関数

$e^M=\sum ^{\infty} _0 \frac{1}{n!}M^n$

を使うと、 $x$ の時間発展は形式的に以下のように書ける。

$x(t)=e^{(t-t_0)\hat{A}}x(t_0), \hat{A}=A+BK$

$K$ はコントローラの設計次第で自分で選ぶことができるので

今は $\hat{A}$ が対角化できるように取れているとする。

${\rm diag}(\lambda_1,...,\lambda _n)$ を対角成分が左上から順番に $\lambda _1, \lambda _2...$ となっているn次の対角行列とする。

$\hat{A}$ はいま、ある行列 $S$ を使って

$S\hat{A} S^{-1}={\rm diag}(\lambda_1,...,\lambda _n)$

と書けている。「指数関数」の定義より

$e^{S\hat{A} S^{-1}}=\sum \frac{1}{n!}(S\hat{A} S^{-1})^n=\sum \frac{1}{n!}S\hat{A}^n S^{-1}=Se^{\hat{A}}S^{-1}$

なので

$x(t)=e^{(t-t_0)\hat{A}}x(t_0)$ の両辺の $S$ を右からかけて

$Sx(t)=Se^{(t-t_0)\hat{A}}S^{-1}Sx(t_0)$

$Sx$ を新たに $\bar{x}$ とすれば（線形変換しただけ）

$\bar{x}(t)=Se^{(t-t_0)\hat{A}}S^{-1}\bar{x}(t_0)$

ここで、 $Se^{(t-t_0)\hat{A}}S^{-1}$ は対角行列となっている。

「指数関数」の定義式に代入すれば直ちに

$Se^{(t-t_0)\hat{A}}S^{-1}={\rm diag}(e^{\lambda _1},...,e^{\lambda _n})$

となっていることがわかる。

系の時間発展は結局、 $A+BK$ の固有値をうまく配置すればいいことになる。

固有値は全部実部が負にとりたいし所望の緩和時間後に目標値に（限りなく近く）なってほしいし、虚部はなるべく小さくしたい。

一つでも固有値が正だと系は発散してしまうので、そうならないように状態フィードバックゲインを調整しなくてはならない。

Matlab/Octaveでの実装

都合のいい状態フィードバックゲインを選んでくれる関数があります

jp.mathworks.com

あなたが神か・・・